AT+CSQ — информация о качестве сигнала.
AT+CMEE=2 расшифровка кодов ошибок
AT+CREG=1 — разрешить выдачу сообщения о смене регистрации в сети.
AT+CREG?
AT+COPS? — информация об операторе, в сети которого зарегистрирован модуль.
AT+COPS=? - ищем доступные сети в этом диапазоне.

at^hspa=0 - wcdma
at^hspa=1 - hsdpa
at^hspa=2 - hspa
at^hspa=3 - hspa+
at^hspa=4 говорят скорость повышается.
AT^HSPA 0...4

AT^LTESCINFO? Здесь нужно измерять SINR. Напомню, 
что он отображается как второе число в результате вывода команды 
AT^CSNR? Аналогичная команда для UMTS

Если вы используете сеть 2G от Мегафона, то можно в роутере прописать команду AT+COPS=1,2,25002,0 
1-ое число означает подключение к сети:
0 - автоматическое подключение 
1 - принудительное подключение только к этой сети
3 - принудительное отключение от этой сети
2-oe число означает формат ввода названия оператора:
0 - Полное цифробуквенное название, например "MegaFon RUS"
1 - Сокращенное цифробуквенное название, например "MegaFon"
2 - ID оператора, например, для Мегафона ID=25002, для MTC ID=25001, для Билайна ID=25099
3-е число, само цифробуквенное название оператора в кавычках или ID, 
в зависимости, какой выбран формат во 2-м значении команды
(в некоторых модемах ID требуется указывать в кавычках).
4-ое число означает режим связи:
0 - GPRS/2G
2 - 3G
Думаю, этого вам будет достаточно, в каком направлении искать и с чем ваша проблема может быть связана. Можно еще воспользоваться командой AT^SYSCFG, в гугле по ней можно найти всю информацию.

AT+CLAC доступно для ввода
AT^SYSCFGEX? - смотрим, какие технологии доступа и диапазоны выбраны.
AT^SYSCFGEX="00",3FFFFFFF,2,4,7FFFFFFFFFFFFFFF,,
AT^SYSCFGEX="03",3FFFFFFF,2,4,40,, - выбираем только LTE и диапазон 7, в котором работает сеть Мегафона.
ATE - включаем "эхо" (отображение вводимых команд).
AT^VERSION - смотрим номера аппаратной модификации и версии встроенного ПО модема (на всякий случай).

AT^SETPORT? - Отображение текущей конфигурации
AT^GETPORTMODE - Отображение в настоящее время активный режим
AT^SETPORT="A1;1,2,3,7,A1,A2" - Установить конфигурацию по умолчанию
AT^SETPORT="A1;1,2,3,7"- Отключить CD + SD
AT^SETPORT="A1;1,2,3,A2" - Отключает NDIS и CDROM - остаётся только модем и флешка
AT^SETPORT="A1;1,2,3" - режим "только модем"
AT^SETPORT="A1;1,2" - Отключает вообще всё кроме модема и служебного интерфейса
AT^SETPORT="A1;2,7" - Компакт-диск + NDIS
AT^SETPORT="A1,A2;1,2,3,7,A1,A2,4,5,6,A,B,D,E" - сброс по умолчанию

AT^SETPORT?
Для каждого из этих двух режимов командой ^SETPORT в этой прошивке задаётся два списка доступных компонентов 
модема: 
до точки с запятой - для "начального", после - для "рабочего". 
В первом списке могут быть только устройства, коды которых начинаются с буквы, т.е., для этого модема, 
"CD-ROM" (A1) и кардридер (A2). 
Можно и полностью отключить все устройства в этом режиме, если задать в качестве кода "FF".

Send:AT^SETPORT?
Recieve: A1;1,2,3,7,A1,A2

CDROM; MODEM, PCUI, DIAG, NDIS, CDROM, SD

Send:AT^SETPORT=?

Recieve: 1:MODEM
Recieve: 2:PCUI 
Recieve: 3:DIAG
Recieve: 4:PCSC
Recieve: 5:GPS
Recieve: 6:GPS CONTROL
Recieve: 7:NDIS
Recieve: A:BLUE TOOTH
Recieve: B:FINGER PRINT
Recieve: D:MMS
Recieve: E:PC VOICE
Recieve: A1:CDROM 
Recieve: A2:SD

AT$QCPINSTAT=?|AT$QCPINSTAT? - Статус ПИН-кода
AT$QCSIMSTAT=?|AT$QCSIMSTAT? - статус сим-карты
AT$QCPWRDN - отключение питания - reset
AT$QCTER=?|AT$QCTER? - скорость терминала
AT$QCDMR=?|AT$QCDMR? - скорость в режиме ДМ?
AT+CIMI -> IMSI карты;
AT^CARDLOCK?
AT^VERSION?
Для UMTS: AT^CSNR? , второе число - Ec/Io.
Для LTE: AT^LTERSRP? , второе число - RSRQ.
AT^ANQUERY?
AT+CRSM=176,12258,0,0,10 -> ICCID карты (по сравнению с тем, что на ней написано, цифры попарно переставлены);
AT+CPIN? -> состояние блокировок карты (PIN, PUK, прочие);